Matemática nas Eleições: significado do Teorema de Arrow

Nílson José Machado                                              

 njmachad@usp.br                                                 

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Roteiro/QUESTÕES

I     – Democracia é sinônimo de regra da maioria?

II   – Quem vota?

III – O que significa um voto?

IV  – Contar os votos basta?

IV  – Como Sistemas eleitorais funcionam?

V    –  Teorema de Arrow

      EXCERTOS/ANEXOS/Bibliografia

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1. Democracia e eleições

Diz-se que “a democracia é o pior dos regimes, excetuando-se todos os outros”. As eleições são a marca da democracia. Os eleitores votam em um candidato, de um elenco X, Y, Z… Na escolha do vencedor, diversos critérios podem ser acordados. Um sistema eleitoral é o elenco de critérios considerados justos para definir o candidato eleito. Um critério que associa o conjunto dos votos individuais a uma escolha coletiva é chamado Função de Bem-Estar Social.

Kenneth Arrow (Nobel de Economia/1972) construiu um conjunto mínimo de exigências consideradas razoáveis para uma tal função. Surpreendentemente, demonstrou, em 1951, um teorema segundo o qual, simplificadamente, não existem funções que satisfaçam simultaneamente os critérios desejáveis, ou seja, não existem sistemas eleitorais perfeitos.

O Teorema da Impossibilidade (Arrow) é tão intrigante quanto o Teorema da Indecidibilidade (Gödel) ou o Princípio da Incerteza (Heisenberg).

Compreendê-lo é fundamental para a compreensão do funcionamento da democracia.

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2 – Eleições e Maioria

É comum associar-se eleições à regra da maioria, mas isso seria natural apenas em embates com apenas dois candidatos, em universo de eleitores em que cada cabeça é um voto.

Se há mais do que dois candidatos, a situação é mais complexa; o mais votado pode ter menos votos que a maioria. Por outro lado, há situações em que os votantes têm diferentes pesos, sem que isso configure um procedimento antidemocrático. O Presidente dos EUA é eleito em um Colégio de Delegados, representantes dos Estados da união. Cada Estado tem um número de delegados correspondente a seu peso político. O candidato mais votado no Estado fica com a totalidade de votos dos delegados do Estado. Assim, os Estados são os verdadeiros eleitores, e eles têm diferentes pesos no processo.

Mesmo em eleições majoritárias regidas pela regra da maioria, os cargos mais importantes na gestão do Estado – os de Ministros, por exemplo – são preenchidos, ou deveriam sê-lo, com base na competência técnica e não pela regra da maioria.

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      3 – Significado do Voto

Na escolha de um entre dois candidatos, o significado do voto como expressão da preferência pessoal é simples e a regra da maioria resolve. Quando há mais que dois candidatos, escolher um e ignorar os outros empobrece o significado da eleição. Para ser justo, seria necessário examinar todos os candidatos e ordená-los segundo nossa preferência. Se concorrem A, B, C e D, por exemplo, um voto seria um quarteto ordenado CBAD: o candidato C é o preferido, seguido do B, do A e do D.

Existem sistemas eleitorais, em uso em diversos países, em que votar significa ordenar os candidatos. Naturalmente, a apuração dos resultados torna-se mais complexa. Diferentes critérios, todos com alto grau de plausibilidade e aparência de justiça, podem conduzir a diferentes ganhadores das eleições. Um dos mais simples é o seguinte: o primeiro lugar no voto ganha 3 pontos, o segundo, 2, o terceiro, 1 e o quarto, 0. Seria algo parecido com a pontuação dos pilotos na Fórmula 1. É insólito, mas não parece injusto.

4 – Democracia e sistemas eleitorais

Um sistema eleitoral é uma regra que associa um conjunto de votos de um universo de eleitores a um candidato vencedor. Se cada cabeça é um voto, e há mais do que dois candidatos, a regra da maioria não dá conta da escolha.

Se cada voto é uma ordenação dos candidatos, existem diferentes sistemas que conduzem do conjunto das ordenações ao resultado da eleição. Um dos mais considerados é o seguinte: verifica-se o candidato menos votado em primeiro lugar, que é eliminado; os votos são, então, reordenados, sem o tal candidato; verifica-se novamente o candidato menos votado em primeiro lugar, que é eliminado; prosseguindo-se assim, chega-se ao confronto direto de apenas dois candidatos, que é decidido pela regra da maioria.

Outro sistema, similar ao anterior, e que parece igualmente justo, é o de eliminações sucessivas do candidato mais votado em último lugar. É desconcertante, no entanto, o fato de que, em situações específicas, os dois sistemas descritos podem conduzir a diferentes eleitos.

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5 – Democracia: Teorema de Arrow

Algumas características parecem desejáveis a todos os sistemas eleitorais: universalidade, independência das alternativas, unanimidade e ausência de ditadores são quatro delas.

Universalidade significa que todas as ordenações possíveis dos candidatos são votos aceitáveis. Independência das alternativas quer dizer que a preferência entre dois candidatos A e B não depende da participação ou não na eleição de outro candidato. A unanimidade quer dizer que, se em todos os votos, A está à frente de B, então no resultado final, A deve estar à frente de B. E a ausência de ditadores é a garantia de que não existe um eleitor (ditador) que, sozinho, com sua ordenação, determine o resultado da eleição.

Em 1951, o economista Kenneth Arrow publicou um texto (Social Choice and Individual Values) que o levaria a ganhar o Prêmio Nobel de Economia. Nele demonstrou o seguinte teorema: não existe sistema eleitoral que apresente simultaneamente as quatro qualidades supracitadas.

É, no mínimo, desconcertante.

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6. Democracia: Arrow e Popper

O avanço da ciência por meio da construção de sistemas formais cada vez mais abrangentes, consistentes e completos, foi um sonho que durou até Gödel, no início dos anos 1930: as limitações intrínsecas aos formalismos são, hoje, amplamente conhecidas. Popper já nos alertara, em seu conhecimento objetivo, que teorias formais nunca podem ser rotuladas como verdadeiras: são sobreviventes ao falseamento a que a realidade continuamente as expõe. Passado o abalo inicial, tais fatos foram assimilados e a ciência continuou a prosperar.

Ao anunciar os limites inerentes aos sistemas eleitorais de diferentes estirpes, Arrow provocou um abalo semelhante, mas que não pode significar uma diminuição na importância da democracia. Descrer da democracia pode ser apenas estimulante provocação. À moda da falseabilidade popperiana, a democracia é melhor de todos os sistemas, pois é o único que permite a correção de erros circunstanciais e inevitáveis nas escolhas de maneira pacífica, por meio das eleições.

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EXCERTOS

1. Democracia e Regra da Maioria: BOBBIO

“A Regra da Maioria não é exclusiva dos sistemas democráticos, nem as decisões em tais sistemas são tomadas exclusivamente mediante tal regra… Esta errônea identificação deriva de uma interpretação equivocada da definição clássica da democracia como governo da maioria… A maioria indica quantos governam e não como governam. … O que caracteriza um sistema político democrático não é o princípio da maioria, mas sim o sufrágio universal. … Desafortunadamente, com muita frequência, as maiorias não se compõem dos mais livres, mas sim dos mais conformistas.”

“Ao falar dos limites de aplicação da regra da maioria, entende-se os limites que derivam da existência de matérias às quais tal regra não se aplica… São matérias em que a tomada de decisões confiada à regra do maior número apareceria como inoportuna, não adequada a seu fim, ou inclusive injusta. … Os valores, os princípios, os postulados éticos e naturalmente também os direitos fundamentais não estão sujeitos a opinião, nem são negociáveis. … Também escapam a seu escopo questões de natureza religiosa, científica, ou que envolvam a irreversibilidade. Podemos submeter a um referendo a escolha entre a monarquia e a república, mas não entre o cristianismo e o ateísmo…”

BOBBIO, Norberto – El filósofo y la política (Antología). México: Fondo de Cultura Económica, 1996

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2. O caso dos EUA

       “Procura-se esconder (na Europa poderia parecer vergonhoso, caso conhecido), que a maioria dos cidadãos com direito a voto nos EUA não exercita tal direito. O mecanismo é simples. O título eleitoral não é entregue a cada um dos cidadãos, como acontece na Europa: os cidadãos é que devem tomar a iniciativa de requerê-lo, agindo como solicitante. E uma grande maioria não o faz…”

Luciano Canfora, em Crítica da Retórica Democrática, p. 28.

         _____________________________________________________

3. O caso dos persas

                  … Têm o hábito (os persas) de deliberar sobre os negócios mais sérios depois de beberem muito; mas, no dia seguinte, o dono da casa onde estiverem reunidos traz novamente à baila a questão, antes de começarem a beber de novo. Se aprovam, ela passa; se não, abandonam o assunto. Às vezes, entretanto, dá-se o contrário: o que decidiram antes de beber passam a discutir novamente durante a embriaguez.

Heródoto (484-425 aC, Livro I Clio CXXXIII)

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4. Sistemas de Votação (FUNÇÕES DE BEM ESTAR SOCIAL)

 MAIORIA    

O vencedor será o candidato que tiver a maioria absoluta (50% + 1) dos votos.

PLURALIDADE

O vencedor será o candidato que tiver a maioria simples dos votos.

PONDERAÇÃO

Se o número de candidatos é igual a k, então, em cada voto, o primeiro lugar em cada ordenação tem k – 1 pontos, o segundo, k – 2 pontos, … o último, zero pontos; o vencedor será o candidato com o maior total de pontos. (Excetuando a diferença na pontuação, é o critério adotado na Fórmula 1.)

CONFRONTO DIRETO

Se um candidato ganhar o confronto direto com todos os outros, então ele será o vencedor.

ELIMINAÇÃO/PREFERÊNCIA

Após a votação/ordenação inicial, elimina-se o candidato com o menor número de 1ºs lugares, e reordenam-se os votos. Após a reordenação, elimina-se o candidato com o menor número de 1ºs lugares; e assim por diante, até o último sobrevivente, que será o vencedor. 

*(Segundo Hodge e Klima, vale na Austrália, na Irlanda e na prefeitura de Londres)  

 ELIMINAÇÃO/REJEIÇÃO

Após a votação/ordenação inicial, elimina-se o candidato com o maior número de última colocação (mais rejeitado), e reordenam-se os votos. Após a reordenação, elimina-se o candidato mais rejeitado, e assim por diante, até o último sobrevivente, que será o vencedor.

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ANEXO

Um Exemplo: Candidatos A, B, C, D; 13 eleitores

       PLURALIDADE                                     MAIORIA

PONDERAÇÃO

REJEIÇÃO

PREFERÊNCIA

Pluralidade:      Maioria:      Ponderação:       Rejeição:      Preferência:

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Bibliografia

BOBBIO, Norberto – El filósofo y la política (Antología). México: Fondo de Cultura Económica, 1996.

BOBBIO, Norberto – El tercero ausente. Madrid: Cátedra, 1989.

BUCHANAN, James M., TULLOCK, Gordon – The Calculus of Consent – Logical Foundations of Constitucional Democracy. Indianapolis: Liberty Fund Inc., 2004.

CANFORA, Luciano – Crítica da Retórica Democrática. São Paulo: Estação Liberdade, 2007.

DAHL, Robert A. – Sobre a Democracia. Brasília: Editora UnB, 2009.

D´ALLONNES, M. R. – Pourquoi nous n’aimons pás La démocracie. Paris: Seuil, 2010.

ELIAS, Norbert – A sociedade dos indivíduos. Rio de Janeiro: Jorge Zahar, 1994.

EPSTEIN, Isaac – O paradoxo de Condorcet e a crise da democracia representativa. São Paulo: Estudos Avançados, V. 11, Nº 30 Maio-Agosto/1997.

HABERMAS, Jürgen – Facticidad y validez. Madrid: Trotta, 1998.

HERÓDOTO – História. Rio de Janeiro: EDIOURO, s/d.

HODGE, Jonathan K., KLIMA, Richard E. – The Mathematics of Voting and Elections: A Hands-On Approach. Rhode Island/EUA: American Mathematical Society, 2005.

KELSEN, Hans – Teoria Pura do Direito. São Paulo: Martins Fontes, 1987.

MORROW, John – History of Political Thought. London: Macmillan, 1998.

OAKESHOTT, Michael – El racionalismo en la política. México: Fondo de Cultura Económica, 2000.

ORTEGA Y GASSET, José – A rebelião das massas. Rio de Janeiro: Livro Ibero-Americano, 1962.

ORTEGA Y GASSET, José – Obras Completas, v. 1 e 2. Madrid: Alianza, 1987.

PALLAZZI, F., FILIPPI, S. S. – El Libro de los 1000 sábios. Madrid: Editorial Dossat, 1984.

SARTORI, Giovanni – A Teoria da Democracia Revisitada. São Paulo: Ática, 1994.

THOREAU, Henry – Desobedecendo. São Paulo: Círculo do Livro, 1987.

VIVANTI, C. – Maioria/minoria. In: EINAUDI, V.22 Política, Tolerância, Intolerância. Imprensa Nacional/Casa da Moeda, 1996.     

Universidade de São Paulo/Faculdade de Educação 

EDM 5129 Tópicos de ÉTICA E EDUCAÇÃO    2º semestre/2017

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MATEMÁTICA DAS ELEIÇÕES: TEOREMA DE ARROW

Nílson José Machado                                              

 njmachad@usp.br                                                 

www.nilsonjosemachado.net    

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Roteiro/QUESTÕES

I     – Democracia é sinônimo de regra da maioria?

II   – Quem vota?

III – O que significa um voto?

IV  – Contar os votos basta?

IV  – Como Sistemas eleitorais funcionam?

V    –  Teorema de Arrow

      EXCERTOS/ANEXOS/Bibliografia

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1. Democracia e eleições

Diz-se que “a democracia é o pior dos regimes, excetuando-se todos os outros”. As eleições são a marca da democracia. Os eleitores votam em um candidato, de um elenco X, Y, Z… Na escolha do vencedor, diversos critérios podem ser acordados. Um sistema eleitoral é o elenco de critérios considerados justos para definir o candidato eleito. Um critério que associa o conjunto dos votos individuais a uma escolha coletiva é chamado Função de Bem-Estar Social.

Kenneth Arrow (Nobel de Economia/1972) construiu um conjunto mínimo de exigências consideradas razoáveis para uma tal função. Surpreendentemente, demonstrou, em 1951, um teorema segundo o qual, simplificadamente, não existem funções que satisfaçam simultaneamente os critérios desejáveis, ou seja, não existem sistemas eleitorais perfeitos.

O Teorema da Impossibilidade (Arrow) é tão intrigante quanto o Teorema da Indecidibilidade (Gödel) ou o Princípio da Incerteza (Heisenberg).

Compreendê-lo é fundamental para a compreensão do funcionamento da democracia.

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2 – Eleições e Maioria

É comum associar-se eleições à regra da maioria, mas isso seria natural apenas em embates com apenas dois candidatos, em universo de eleitores em que cada cabeça é um voto.

Se há mais do que dois candidatos, a situação é mais complexa; o mais votado pode ter menos votos que a maioria. Por outro lado, há situações em que os votantes têm diferentes pesos, sem que isso configure um procedimento antidemocrático. O Presidente dos EUA é eleito em um Colégio de Delegados, representantes dos Estados da união. Cada Estado tem um número de delegados correspondente a seu peso político. O candidato mais votado no Estado fica com a totalidade de votos dos delegados do Estado. Assim, os Estados são os verdadeiros eleitores, e eles têm diferentes pesos no processo.

Mesmo em eleições majoritárias regidas pela regra da maioria, os cargos mais importantes na gestão do Estado – os de Ministros, por exemplo – são preenchidos, ou deveriam sê-lo, com base na competência técnica e não pela regra da maioria.

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      3 – Significado do Voto

Na escolha de um entre dois candidatos, o significado do voto como expressão da preferência pessoal é simples e a regra da maioria resolve. Quando há mais que dois candidatos, escolher um e ignorar os outros empobrece o significado da eleição. Para ser justo, seria necessário examinar todos os candidatos e ordená-los segundo nossa preferência. Se concorrem A, B, C e D, por exemplo, um voto seria um quarteto ordenado CBAD: o candidato C é o preferido, seguido do B, do A e do D.

Existem sistemas eleitorais, em uso em diversos países, em que votar significa ordenar os candidatos. Naturalmente, a apuração dos resultados torna-se mais complexa. Diferentes critérios, todos com alto grau de plausibilidade e aparência de justiça, podem conduzir a diferentes ganhadores das eleições. Um dos mais simples é o seguinte: o primeiro lugar no voto ganha 3 pontos, o segundo, 2, o terceiro, 1 e o quarto, 0. Seria algo parecido com a pontuação dos pilotos na Fórmula 1. É insólito, mas não parece injusto.

4 – Democracia e sistemas eleitorais

Um sistema eleitoral é uma regra que associa um conjunto de votos de um universo de eleitores a um candidato vencedor. Se cada cabeça é um voto, e há mais do que dois candidatos, a regra da maioria não dá conta da escolha.

Se cada voto é uma ordenação dos candidatos, existem diferentes sistemas que conduzem do conjunto das ordenações ao resultado da eleição. Um dos mais considerados é o seguinte: verifica-se o candidato menos votado em primeiro lugar, que é eliminado; os votos são, então, reordenados, sem o tal candidato; verifica-se novamente o candidato menos votado em primeiro lugar, que é eliminado; prosseguindo-se assim, chega-se ao confronto direto de apenas dois candidatos, que é decidido pela regra da maioria.

Outro sistema, similar ao anterior, e que parece igualmente justo, é o de eliminações sucessivas do candidato mais votado em último lugar. É desconcertante, no entanto, o fato de que, em situações específicas, os dois sistemas descritos podem conduzir a diferentes eleitos.

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5 – Democracia: Teorema de Arrow

Algumas características parecem desejáveis a todos os sistemas eleitorais: universalidade, independência das alternativas, unanimidade e ausência de ditadores são quatro delas.

Universalidade significa que todas as ordenações possíveis dos candidatos são votos aceitáveis. Independência das alternativas quer dizer que a preferência entre dois candidatos A e B não depende da participação ou não na eleição de outro candidato. A unanimidade quer dizer que, se em todos os votos, A está à frente de B, então no resultado final, A deve estar à frente de B. E a ausência de ditadores é a garantia de que não existe um eleitor (ditador) que, sozinho, com sua ordenação, determine o resultado da eleição.

Em 1951, o economista Kenneth Arrow publicou um texto (Social Choice and Individual Values) que o levaria a ganhar o Prêmio Nobel de Economia. Nele demonstrou o seguinte teorema: não existe sistema eleitoral que apresente simultaneamente as quatro qualidades supracitadas.

É, no mínimo, desconcertante.

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6. Democracia: Arrow e Popper

O avanço da ciência por meio da construção de sistemas formais cada vez mais abrangentes, consistentes e completos, foi um sonho que durou até Gödel, no início dos anos 1930: as limitações intrínsecas aos formalismos são, hoje, amplamente conhecidas. Popper já nos alertara, em seu conhecimento objetivo, que teorias formais nunca podem ser rotuladas como verdadeiras: são sobreviventes ao falseamento a que a realidade continuamente as expõe. Passado o abalo inicial, tais fatos foram assimilados e a ciência continuou a prosperar.

Ao anunciar os limites inerentes aos sistemas eleitorais de diferentes estirpes, Arrow provocou um abalo semelhante, mas que não pode significar uma diminuição na importância da democracia. Descrer da democracia pode ser apenas estimulante provocação. À moda da falseabilidade popperiana, a democracia é melhor de todos os sistemas, pois é o único que permite a correção de erros circunstanciais e inevitáveis nas escolhas de maneira pacífica, por meio das eleições.

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EXCERTOS

1. Democracia e Regra da Maioria: BOBBIO

“A Regra da Maioria não é exclusiva dos sistemas democráticos, nem as decisões em tais sistemas são tomadas exclusivamente mediante tal regra… Esta errônea identificação deriva de uma interpretação equivocada da definição clássica da democracia como governo da maioria… A maioria indica quantos governam e não como governam. … O que caracteriza um sistema político democrático não é o princípio da maioria, mas sim o sufrágio universal. … Desafortunadamente, com muita frequência, as maiorias não se compõem dos mais livres, mas sim dos mais conformistas.”

“Ao falar dos limites de aplicação da regra da maioria, entende-se os limites que derivam da existência de matérias às quais tal regra não se aplica… São matérias em que a tomada de decisões confiada à regra do maior número apareceria como inoportuna, não adequada a seu fim, ou inclusive injusta. … Os valores, os princípios, os postulados éticos e naturalmente também os direitos fundamentais não estão sujeitos a opinião, nem são negociáveis. … Também escapam a seu escopo questões de natureza religiosa, científica, ou que envolvam a irreversibilidade. Podemos submeter a um referendo a escolha entre a monarquia e a república, mas não entre o cristianismo e o ateísmo…”

BOBBIO, Norberto – El filósofo y la política (Antología). México: Fondo de Cultura Económica, 1996

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2. O caso dos EUA

       “Procura-se esconder (na Europa poderia parecer vergonhoso, caso conhecido), que a maioria dos cidadãos com direito a voto nos EUA não exercita tal direito. O mecanismo é simples. O título eleitoral não é entregue a cada um dos cidadãos, como acontece na Europa: os cidadãos é que devem tomar a iniciativa de requerê-lo, agindo como solicitante. E uma grande maioria não o faz…”

Luciano Canfora, em Crítica da Retórica Democrática, p. 28.

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3. O caso dos persas

                  … Têm o hábito (os persas) de deliberar sobre os negócios mais sérios depois de beberem muito; mas, no dia seguinte, o dono da casa onde estiverem reunidos traz novamente à baila a questão, antes de começarem a beber de novo. Se aprovam, ela passa; se não, abandonam o assunto. Às vezes, entretanto, dá-se o contrário: o que decidiram antes de beber passam a discutir novamente durante a embriaguez.

Heródoto (484-425 aC, Livro I Clio CXXXIII)

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4. Sistemas de Votação (FUNÇÕES DE BEM ESTAR SOCIAL)

 MAIORIA    

O vencedor será o candidato que tiver a maioria absoluta (50% + 1) dos votos.

PLURALIDADE

O vencedor será o candidato que tiver a maioria simples dos votos.

PONDERAÇÃO

Se o número de candidatos é igual a k, então, em cada voto, o primeiro lugar em cada ordenação tem k – 1 pontos, o segundo, k – 2 pontos, … o último, zero pontos; o vencedor será o candidato com o maior total de pontos. (Excetuando a diferença na pontuação, é o critério adotado na Fórmula 1.)

CONFRONTO DIRETO

Se um candidato ganhar o confronto direto com todos os outros, então ele será o vencedor.

ELIMINAÇÃO/PREFERÊNCIA

Após a votação/ordenação inicial, elimina-se o candidato com o menor número de 1ºs lugares, e reordenam-se os votos. Após a reordenação, elimina-se o candidato com o menor número de 1ºs lugares; e assim por diante, até o último sobrevivente, que será o vencedor. 

*(Segundo Hodge e Klima, vale na Austrália, na Irlanda e na prefeitura de Londres)  

 ELIMINAÇÃO/REJEIÇÃO

Após a votação/ordenação inicial, elimina-se o candidato com o maior número de última colocação (mais rejeitado), e reordenam-se os votos. Após a reordenação, elimina-se o candidato mais rejeitado, e assim por diante, até o último sobrevivente, que será o vencedor.

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ANEXO

Um Exemplo: Candidatos A, B, C, D; 13 eleitores

       PLURALIDADE                                     MAIORIA

PONDERAÇÃO

REJEIÇÃO

PREFERÊNCIA

Pluralidade:      Maioria:      Ponderação:       Rejeição:      Preferência:

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Bibliografia

BOBBIO, Norberto – El filósofo y la política (Antología). México: Fondo de Cultura Económica, 1996.

BOBBIO, Norberto – El tercero ausente. Madrid: Cátedra, 1989.

BUCHANAN, James M., TULLOCK, Gordon – The Calculus of Consent – Logical Foundations of Constitucional Democracy. Indianapolis: Liberty Fund Inc., 2004.

CANFORA, Luciano – Crítica da Retórica Democrática. São Paulo: Estação Liberdade, 2007.

DAHL, Robert A. – Sobre a Democracia. Brasília: Editora UnB, 2009.

D´ALLONNES, M. R. – Pourquoi nous n’aimons pás La démocracie. Paris: Seuil, 2010.

ELIAS, Norbert – A sociedade dos indivíduos. Rio de Janeiro: Jorge Zahar, 1994.

EPSTEIN, Isaac – O paradoxo de Condorcet e a crise da democracia representativa. São Paulo: Estudos Avançados, V. 11, Nº 30 Maio-Agosto/1997.

HABERMAS, Jürgen – Facticidad y validez. Madrid: Trotta, 1998.

HERÓDOTO – História. Rio de Janeiro: EDIOURO, s/d.

HODGE, Jonathan K., KLIMA, Richard E. – The Mathematics of Voting and Elections: A Hands-On Approach. Rhode Island/EUA: American Mathematical Society, 2005.

KELSEN, Hans – Teoria Pura do Direito. São Paulo: Martins Fontes, 1987.

MORROW, John – History of Political Thought. London: Macmillan, 1998.

OAKESHOTT, Michael – El racionalismo en la política. México: Fondo de Cultura Económica, 2000.

ORTEGA Y GASSET, José – A rebelião das massas. Rio de Janeiro: Livro Ibero-Americano, 1962.

ORTEGA Y GASSET, José – Obras Completas, v. 1 e 2. Madrid: Alianza, 1987.

PALLAZZI, F., FILIPPI, S. S. – El Libro de los 1000 sábios. Madrid: Editorial Dossat, 1984.

SARTORI, Giovanni – A Teoria da Democracia Revisitada. São Paulo: Ática, 1994.

THOREAU, Henry – Desobedecendo. São Paulo: Círculo do Livro, 1987.

VIVANTI, C. – Maioria/minoria. In: EINAUDI, V.22 Política, Tolerância, Intolerância. Imprensa Nacional/Casa da Moeda, 1996.     

****spout2017

Universidade de São Paulo/Faculdade de Educação 

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MATEMÁTICA DAS ELEIÇÕES: TEOREMA DE ARROW

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 njmachad@usp.br                                                 

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Roteiro/QUESTÕES

I     – Democracia é sinônimo de regra da maioria?

II   – Quem vota?

III – O que significa um voto?

IV  – Contar os votos basta?

IV  – Como Sistemas eleitorais funcionam?

V    –  Teorema de Arrow

      EXCERTOS/ANEXOS/Bibliografia

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1. Democracia e eleições

Diz-se que “a democracia é o pior dos regimes, excetuando-se todos os outros”. As eleições são a marca da democracia. Os eleitores votam em um candidato, de um elenco X, Y, Z… Na escolha do vencedor, diversos critérios podem ser acordados. Um sistema eleitoral é o elenco de critérios considerados justos para definir o candidato eleito. Um critério que associa o conjunto dos votos individuais a uma escolha coletiva é chamado Função de Bem-Estar Social.

Kenneth Arrow (Nobel de Economia/1972) construiu um conjunto mínimo de exigências consideradas razoáveis para uma tal função. Surpreendentemente, demonstrou, em 1951, um teorema segundo o qual, simplificadamente, não existem funções que satisfaçam simultaneamente os critérios desejáveis, ou seja, não existem sistemas eleitorais perfeitos.

O Teorema da Impossibilidade (Arrow) é tão intrigante quanto o Teorema da Indecidibilidade (Gödel) ou o Princípio da Incerteza (Heisenberg).

Compreendê-lo é fundamental para a compreensão do funcionamento da democracia.

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2 – Eleições e Maioria

É comum associar-se eleições à regra da maioria, mas isso seria natural apenas em embates com apenas dois candidatos, em universo de eleitores em que cada cabeça é um voto.

Se há mais do que dois candidatos, a situação é mais complexa; o mais votado pode ter menos votos que a maioria. Por outro lado, há situações em que os votantes têm diferentes pesos, sem que isso configure um procedimento antidemocrático. O Presidente dos EUA é eleito em um Colégio de Delegados, representantes dos Estados da união. Cada Estado tem um número de delegados correspondente a seu peso político. O candidato mais votado no Estado fica com a totalidade de votos dos delegados do Estado. Assim, os Estados são os verdadeiros eleitores, e eles têm diferentes pesos no processo.

Mesmo em eleições majoritárias regidas pela regra da maioria, os cargos mais importantes na gestão do Estado – os de Ministros, por exemplo – são preenchidos, ou deveriam sê-lo, com base na competência técnica e não pela regra da maioria.

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      3 – Significado do Voto

Na escolha de um entre dois candidatos, o significado do voto como expressão da preferência pessoal é simples e a regra da maioria resolve. Quando há mais que dois candidatos, escolher um e ignorar os outros empobrece o significado da eleição. Para ser justo, seria necessário examinar todos os candidatos e ordená-los segundo nossa preferência. Se concorrem A, B, C e D, por exemplo, um voto seria um quarteto ordenado CBAD: o candidato C é o preferido, seguido do B, do A e do D.

Existem sistemas eleitorais, em uso em diversos países, em que votar significa ordenar os candidatos. Naturalmente, a apuração dos resultados torna-se mais complexa. Diferentes critérios, todos com alto grau de plausibilidade e aparência de justiça, podem conduzir a diferentes ganhadores das eleições. Um dos mais simples é o seguinte: o primeiro lugar no voto ganha 3 pontos, o segundo, 2, o terceiro, 1 e o quarto, 0. Seria algo parecido com a pontuação dos pilotos na Fórmula 1. É insólito, mas não parece injusto.

4 – Democracia e sistemas eleitorais

Um sistema eleitoral é uma regra que associa um conjunto de votos de um universo de eleitores a um candidato vencedor. Se cada cabeça é um voto, e há mais do que dois candidatos, a regra da maioria não dá conta da escolha.

Se cada voto é uma ordenação dos candidatos, existem diferentes sistemas que conduzem do conjunto das ordenações ao resultado da eleição. Um dos mais considerados é o seguinte: verifica-se o candidato menos votado em primeiro lugar, que é eliminado; os votos são, então, reordenados, sem o tal candidato; verifica-se novamente o candidato menos votado em primeiro lugar, que é eliminado; prosseguindo-se assim, chega-se ao confronto direto de apenas dois candidatos, que é decidido pela regra da maioria.

Outro sistema, similar ao anterior, e que parece igualmente justo, é o de eliminações sucessivas do candidato mais votado em último lugar. É desconcertante, no entanto, o fato de que, em situações específicas, os dois sistemas descritos podem conduzir a diferentes eleitos.

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5 – Democracia: Teorema de Arrow

Algumas características parecem desejáveis a todos os sistemas eleitorais: universalidade, independência das alternativas, unanimidade e ausência de ditadores são quatro delas.

Universalidade significa que todas as ordenações possíveis dos candidatos são votos aceitáveis. Independência das alternativas quer dizer que a preferência entre dois candidatos A e B não depende da participação ou não na eleição de outro candidato. A unanimidade quer dizer que, se em todos os votos, A está à frente de B, então no resultado final, A deve estar à frente de B. E a ausência de ditadores é a garantia de que não existe um eleitor (ditador) que, sozinho, com sua ordenação, determine o resultado da eleição.

Em 1951, o economista Kenneth Arrow publicou um texto (Social Choice and Individual Values) que o levaria a ganhar o Prêmio Nobel de Economia. Nele demonstrou o seguinte teorema: não existe sistema eleitoral que apresente simultaneamente as quatro qualidades supracitadas.

É, no mínimo, desconcertante.

_______________________________________________________

6. Democracia: Arrow e Popper

O avanço da ciência por meio da construção de sistemas formais cada vez mais abrangentes, consistentes e completos, foi um sonho que durou até Gödel, no início dos anos 1930: as limitações intrínsecas aos formalismos são, hoje, amplamente conhecidas. Popper já nos alertara, em seu conhecimento objetivo, que teorias formais nunca podem ser rotuladas como verdadeiras: são sobreviventes ao falseamento a que a realidade continuamente as expõe. Passado o abalo inicial, tais fatos foram assimilados e a ciência continuou a prosperar.

Ao anunciar os limites inerentes aos sistemas eleitorais de diferentes estirpes, Arrow provocou um abalo semelhante, mas que não pode significar uma diminuição na importância da democracia. Descrer da democracia pode ser apenas estimulante provocação. À moda da falseabilidade popperiana, a democracia é melhor de todos os sistemas, pois é o único que permite a correção de erros circunstanciais e inevitáveis nas escolhas de maneira pacífica, por meio das eleições.

_____________________________________________________

EXCERTOS

1. Democracia e Regra da Maioria: BOBBIO

“A Regra da Maioria não é exclusiva dos sistemas democráticos, nem as decisões em tais sistemas são tomadas exclusivamente mediante tal regra… Esta errônea identificação deriva de uma interpretação equivocada da definição clássica da democracia como governo da maioria… A maioria indica quantos governam e não como governam. … O que caracteriza um sistema político democrático não é o princípio da maioria, mas sim o sufrágio universal. … Desafortunadamente, com muita frequência, as maiorias não se compõem dos mais livres, mas sim dos mais conformistas.”

“Ao falar dos limites de aplicação da regra da maioria, entende-se os limites que derivam da existência de matérias às quais tal regra não se aplica… São matérias em que a tomada de decisões confiada à regra do maior número apareceria como inoportuna, não adequada a seu fim, ou inclusive injusta. … Os valores, os princípios, os postulados éticos e naturalmente também os direitos fundamentais não estão sujeitos a opinião, nem são negociáveis. … Também escapam a seu escopo questões de natureza religiosa, científica, ou que envolvam a irreversibilidade. Podemos submeter a um referendo a escolha entre a monarquia e a república, mas não entre o cristianismo e o ateísmo…”

BOBBIO, Norberto – El filósofo y la política (Antología). México: Fondo de Cultura Económica, 1996

_______________________________________________

2. O caso dos EUA

       “Procura-se esconder (na Europa poderia parecer vergonhoso, caso conhecido), que a maioria dos cidadãos com direito a voto nos EUA não exercita tal direito. O mecanismo é simples. O título eleitoral não é entregue a cada um dos cidadãos, como acontece na Europa: os cidadãos é que devem tomar a iniciativa de requerê-lo, agindo como solicitante. E uma grande maioria não o faz…”

Luciano Canfora, em Crítica da Retórica Democrática, p. 28.

         _____________________________________________________

3. O caso dos persas

                  … Têm o hábito (os persas) de deliberar sobre os negócios mais sérios depois de beberem muito; mas, no dia seguinte, o dono da casa onde estiverem reunidos traz novamente à baila a questão, antes de começarem a beber de novo. Se aprovam, ela passa; se não, abandonam o assunto. Às vezes, entretanto, dá-se o contrário: o que decidiram antes de beber passam a discutir novamente durante a embriaguez.

Heródoto (484-425 aC, Livro I Clio CXXXIII)

____________________________________________________________

4. Sistemas de Votação (FUNÇÕES DE BEM ESTAR SOCIAL)

 MAIORIA    

O vencedor será o candidato que tiver a maioria absoluta (50% + 1) dos votos.

PLURALIDADE

O vencedor será o candidato que tiver a maioria simples dos votos.

PONDERAÇÃO

Se o número de candidatos é igual a k, então, em cada voto, o primeiro lugar em cada ordenação tem k – 1 pontos, o segundo, k – 2 pontos, … o último, zero pontos; o vencedor será o candidato com o maior total de pontos. (Excetuando a diferença na pontuação, é o critério adotado na Fórmula 1.)

CONFRONTO DIRETO

Se um candidato ganhar o confronto direto com todos os outros, então ele será o vencedor.

ELIMINAÇÃO/PREFERÊNCIA

Após a votação/ordenação inicial, elimina-se o candidato com o menor número de 1ºs lugares, e reordenam-se os votos. Após a reordenação, elimina-se o candidato com o menor número de 1ºs lugares; e assim por diante, até o último sobrevivente, que será o vencedor. 

*(Segundo Hodge e Klima, vale na Austrália, na Irlanda e na prefeitura de Londres)  

 ELIMINAÇÃO/REJEIÇÃO

Após a votação/ordenação inicial, elimina-se o candidato com o maior número de última colocação (mais rejeitado), e reordenam-se os votos. Após a reordenação, elimina-se o candidato mais rejeitado, e assim por diante, até o último sobrevivente, que será o vencedor.

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ANEXO

Um Exemplo: Candidatos A, B, C, D; 13 eleitores

       PLURALIDADE                                     MAIORIA

PONDERAÇÃO

REJEIÇÃO

PREFERÊNCIA

Pluralidade:      Maioria:      Ponderação:       Rejeição:      Preferência:

_____________________________________________________________

Bibliografia

BOBBIO, Norberto – El filósofo y la política (Antología). México: Fondo de Cultura Económica, 1996.

BOBBIO, Norberto – El tercero ausente. Madrid: Cátedra, 1989.

BUCHANAN, James M., TULLOCK, Gordon – The Calculus of Consent – Logical Foundations of Constitucional Democracy. Indianapolis: Liberty Fund Inc., 2004.

CANFORA, Luciano – Crítica da Retórica Democrática. São Paulo: Estação Liberdade, 2007.

DAHL, Robert A. – Sobre a Democracia. Brasília: Editora UnB, 2009.

D´ALLONNES, M. R. – Pourquoi nous n’aimons pás La démocracie. Paris: Seuil, 2010.

ELIAS, Norbert – A sociedade dos indivíduos. Rio de Janeiro: Jorge Zahar, 1994.

EPSTEIN, Isaac – O paradoxo de Condorcet e a crise da democracia representativa. São Paulo: Estudos Avançados, V. 11, Nº 30 Maio-Agosto/1997.

HABERMAS, Jürgen – Facticidad y validez. Madrid: Trotta, 1998.

HERÓDOTO – História. Rio de Janeiro: EDIOURO, s/d.

HODGE, Jonathan K., KLIMA, Richard E. – The Mathematics of Voting and Elections: A Hands-On Approach. Rhode Island/EUA: American Mathematical Society, 2005.

KELSEN, Hans – Teoria Pura do Direito. São Paulo: Martins Fontes, 1987.

MORROW, John – History of Political Thought. London: Macmillan, 1998.

OAKESHOTT, Michael – El racionalismo en la política. México: Fondo de Cultura Económica, 2000.

ORTEGA Y GASSET, José – A rebelião das massas. Rio de Janeiro: Livro Ibero-Americano, 1962.

ORTEGA Y GASSET, José – Obras Completas, v. 1 e 2. Madrid: Alianza, 1987.

PALLAZZI, F., FILIPPI, S. S. – El Libro de los 1000 sábios. Madrid: Editorial Dossat, 1984.

SARTORI, Giovanni – A Teoria da Democracia Revisitada. São Paulo: Ática, 1994.

THOREAU, Henry – Desobedecendo. São Paulo: Círculo do Livro, 1987.

VIVANTI, C. – Maioria/minoria. In: EINAUDI, V.22 Política, Tolerância, Intolerância. Imprensa Nacional/Casa da Moeda, 1996.     

****spout2017

Universidade de São Paulo/Faculdade de Educação 

EDM 5129 Tópicos de ÉTICA E EDUCAÇÃO    2º semestre/2017

___________________________________________________

MATEMÁTICA DAS ELEIÇÕES: TEOREMA DE ARROW

Nílson José Machado                                              

 njmachad@usp.br                                                 

www.nilsonjosemachado.net    

______________________________________________

Roteiro/QUESTÕES

I     – Democracia é sinônimo de regra da maioria?

II   – Quem vota?

III – O que significa um voto?

IV  – Contar os votos basta?

IV  – Como Sistemas eleitorais funcionam?

V    –  Teorema de Arrow

      EXCERTOS/ANEXOS/Bibliografia

_____________________________________________

1. Democracia e eleições

Diz-se que “a democracia é o pior dos regimes, excetuando-se todos os outros”. As eleições são a marca da democracia. Os eleitores votam em um candidato, de um elenco X, Y, Z… Na escolha do vencedor, diversos critérios podem ser acordados. Um sistema eleitoral é o elenco de critérios considerados justos para definir o candidato eleito. Um critério que associa o conjunto dos votos individuais a uma escolha coletiva é chamado Função de Bem-Estar Social.

Kenneth Arrow (Nobel de Economia/1972) construiu um conjunto mínimo de exigências consideradas razoáveis para uma tal função. Surpreendentemente, demonstrou, em 1951, um teorema segundo o qual, simplificadamente, não existem funções que satisfaçam simultaneamente os critérios desejáveis, ou seja, não existem sistemas eleitorais perfeitos.

O Teorema da Impossibilidade (Arrow) é tão intrigante quanto o Teorema da Indecidibilidade (Gödel) ou o Princípio da Incerteza (Heisenberg).

Compreendê-lo é fundamental para a compreensão do funcionamento da democracia.

______________________________________________

2 – Eleições e Maioria

É comum associar-se eleições à regra da maioria, mas isso seria natural apenas em embates com apenas dois candidatos, em universo de eleitores em que cada cabeça é um voto.

Se há mais do que dois candidatos, a situação é mais complexa; o mais votado pode ter menos votos que a maioria. Por outro lado, há situações em que os votantes têm diferentes pesos, sem que isso configure um procedimento antidemocrático. O Presidente dos EUA é eleito em um Colégio de Delegados, representantes dos Estados da união. Cada Estado tem um número de delegados correspondente a seu peso político. O candidato mais votado no Estado fica com a totalidade de votos dos delegados do Estado. Assim, os Estados são os verdadeiros eleitores, e eles têm diferentes pesos no processo.

Mesmo em eleições majoritárias regidas pela regra da maioria, os cargos mais importantes na gestão do Estado – os de Ministros, por exemplo – são preenchidos, ou deveriam sê-lo, com base na competência técnica e não pela regra da maioria.

 _______________________________________________________

      3 – Significado do Voto

Na escolha de um entre dois candidatos, o significado do voto como expressão da preferência pessoal é simples e a regra da maioria resolve. Quando há mais que dois candidatos, escolher um e ignorar os outros empobrece o significado da eleição. Para ser justo, seria necessário examinar todos os candidatos e ordená-los segundo nossa preferência. Se concorrem A, B, C e D, por exemplo, um voto seria um quarteto ordenado CBAD: o candidato C é o preferido, seguido do B, do A e do D.

Existem sistemas eleitorais, em uso em diversos países, em que votar significa ordenar os candidatos. Naturalmente, a apuração dos resultados torna-se mais complexa. Diferentes critérios, todos com alto grau de plausibilidade e aparência de justiça, podem conduzir a diferentes ganhadores das eleições. Um dos mais simples é o seguinte: o primeiro lugar no voto ganha 3 pontos, o segundo, 2, o terceiro, 1 e o quarto, 0. Seria algo parecido com a pontuação dos pilotos na Fórmula 1. É insólito, mas não parece injusto.

4 – Democracia e sistemas eleitorais

Um sistema eleitoral é uma regra que associa um conjunto de votos de um universo de eleitores a um candidato vencedor. Se cada cabeça é um voto, e há mais do que dois candidatos, a regra da maioria não dá conta da escolha.

Se cada voto é uma ordenação dos candidatos, existem diferentes sistemas que conduzem do conjunto das ordenações ao resultado da eleição. Um dos mais considerados é o seguinte: verifica-se o candidato menos votado em primeiro lugar, que é eliminado; os votos são, então, reordenados, sem o tal candidato; verifica-se novamente o candidato menos votado em primeiro lugar, que é eliminado; prosseguindo-se assim, chega-se ao confronto direto de apenas dois candidatos, que é decidido pela regra da maioria.

Outro sistema, similar ao anterior, e que parece igualmente justo, é o de eliminações sucessivas do candidato mais votado em último lugar. É desconcertante, no entanto, o fato de que, em situações específicas, os dois sistemas descritos podem conduzir a diferentes eleitos.

___________________________________________________

5 – Democracia: Teorema de Arrow

Algumas características parecem desejáveis a todos os sistemas eleitorais: universalidade, independência das alternativas, unanimidade e ausência de ditadores são quatro delas.

Universalidade significa que todas as ordenações possíveis dos candidatos são votos aceitáveis. Independência das alternativas quer dizer que a preferência entre dois candidatos A e B não depende da participação ou não na eleição de outro candidato. A unanimidade quer dizer que, se em todos os votos, A está à frente de B, então no resultado final, A deve estar à frente de B. E a ausência de ditadores é a garantia de que não existe um eleitor (ditador) que, sozinho, com sua ordenação, determine o resultado da eleição.

Em 1951, o economista Kenneth Arrow publicou um texto (Social Choice and Individual Values) que o levaria a ganhar o Prêmio Nobel de Economia. Nele demonstrou o seguinte teorema: não existe sistema eleitoral que apresente simultaneamente as quatro qualidades supracitadas.

É, no mínimo, desconcertante.

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6. Democracia: Arrow e Popper

O avanço da ciência por meio da construção de sistemas formais cada vez mais abrangentes, consistentes e completos, foi um sonho que durou até Gödel, no início dos anos 1930: as limitações intrínsecas aos formalismos são, hoje, amplamente conhecidas. Popper já nos alertara, em seu conhecimento objetivo, que teorias formais nunca podem ser rotuladas como verdadeiras: são sobreviventes ao falseamento a que a realidade continuamente as expõe. Passado o abalo inicial, tais fatos foram assimilados e a ciência continuou a prosperar.

Ao anunciar os limites inerentes aos sistemas eleitorais de diferentes estirpes, Arrow provocou um abalo semelhante, mas que não pode significar uma diminuição na importância da democracia. Descrer da democracia pode ser apenas estimulante provocação. À moda da falseabilidade popperiana, a democracia é melhor de todos os sistemas, pois é o único que permite a correção de erros circunstanciais e inevitáveis nas escolhas de maneira pacífica, por meio das eleições.

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EXCERTOS

1. Democracia e Regra da Maioria: BOBBIO

“A Regra da Maioria não é exclusiva dos sistemas democráticos, nem as decisões em tais sistemas são tomadas exclusivamente mediante tal regra… Esta errônea identificação deriva de uma interpretação equivocada da definição clássica da democracia como governo da maioria… A maioria indica quantos governam e não como governam. … O que caracteriza um sistema político democrático não é o princípio da maioria, mas sim o sufrágio universal. … Desafortunadamente, com muita frequência, as maiorias não se compõem dos mais livres, mas sim dos mais conformistas.”

“Ao falar dos limites de aplicação da regra da maioria, entende-se os limites que derivam da existência de matérias às quais tal regra não se aplica… São matérias em que a tomada de decisões confiada à regra do maior número apareceria como inoportuna, não adequada a seu fim, ou inclusive injusta. … Os valores, os princípios, os postulados éticos e naturalmente também os direitos fundamentais não estão sujeitos a opinião, nem são negociáveis. … Também escapam a seu escopo questões de natureza religiosa, científica, ou que envolvam a irreversibilidade. Podemos submeter a um referendo a escolha entre a monarquia e a república, mas não entre o cristianismo e o ateísmo…”

BOBBIO, Norberto – El filósofo y la política (Antología). México: Fondo de Cultura Económica, 1996

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2. O caso dos EUA

       “Procura-se esconder (na Europa poderia parecer vergonhoso, caso conhecido), que a maioria dos cidadãos com direito a voto nos EUA não exercita tal direito. O mecanismo é simples. O título eleitoral não é entregue a cada um dos cidadãos, como acontece na Europa: os cidadãos é que devem tomar a iniciativa de requerê-lo, agindo como solicitante. E uma grande maioria não o faz…”

Luciano Canfora, em Crítica da Retórica Democrática, p. 28.

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3. O caso dos persas

                  … Têm o hábito (os persas) de deliberar sobre os negócios mais sérios depois de beberem muito; mas, no dia seguinte, o dono da casa onde estiverem reunidos traz novamente à baila a questão, antes de começarem a beber de novo. Se aprovam, ela passa; se não, abandonam o assunto. Às vezes, entretanto, dá-se o contrário: o que decidiram antes de beber passam a discutir novamente durante a embriaguez.

Heródoto (484-425 aC, Livro I Clio CXXXIII)

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4. Sistemas de Votação (FUNÇÕES DE BEM ESTAR SOCIAL)

 MAIORIA    

O vencedor será o candidato que tiver a maioria absoluta (50% + 1) dos votos.

PLURALIDADE

O vencedor será o candidato que tiver a maioria simples dos votos.

PONDERAÇÃO

Se o número de candidatos é igual a k, então, em cada voto, o primeiro lugar em cada ordenação tem k – 1 pontos, o segundo, k – 2 pontos, … o último, zero pontos; o vencedor será o candidato com o maior total de pontos. (Excetuando a diferença na pontuação, é o critério adotado na Fórmula 1.)

CONFRONTO DIRETO

Se um candidato ganhar o confronto direto com todos os outros, então ele será o vencedor.

ELIMINAÇÃO/PREFERÊNCIA

Após a votação/ordenação inicial, elimina-se o candidato com o menor número de 1ºs lugares, e reordenam-se os votos. Após a reordenação, elimina-se o candidato com o menor número de 1ºs lugares; e assim por diante, até o último sobrevivente, que será o vencedor. 

*(Segundo Hodge e Klima, vale na Austrália, na Irlanda e na prefeitura de Londres)  

 ELIMINAÇÃO/REJEIÇÃO

Após a votação/ordenação inicial, elimina-se o candidato com o maior número de última colocação (mais rejeitado), e reordenam-se os votos. Após a reordenação, elimina-se o candidato mais rejeitado, e assim por diante, até o último sobrevivente, que será o vencedor.

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ANEXO

Um Exemplo: Candidatos A, B, C, D; 13 eleitores

       PLURALIDADE                                     MAIORIA

PONDERAÇÃO

REJEIÇÃO

PREFERÊNCIA

Pluralidade:      Maioria:      Ponderação:       Rejeição:      Preferência:

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Bibliografia

BOBBIO, Norberto – El filósofo y la política (Antología). México: Fondo de Cultura Económica, 1996.

BOBBIO, Norberto – El tercero ausente. Madrid: Cátedra, 1989.

BUCHANAN, James M., TULLOCK, Gordon – The Calculus of Consent – Logical Foundations of Constitucional Democracy. Indianapolis: Liberty Fund Inc., 2004.

CANFORA, Luciano – Crítica da Retórica Democrática. São Paulo: Estação Liberdade, 2007.

DAHL, Robert A. – Sobre a Democracia. Brasília: Editora UnB, 2009.

D´ALLONNES, M. R. – Pourquoi nous n’aimons pás La démocracie. Paris: Seuil, 2010.

ELIAS, Norbert – A sociedade dos indivíduos. Rio de Janeiro: Jorge Zahar, 1994.

EPSTEIN, Isaac – O paradoxo de Condorcet e a crise da democracia representativa. São Paulo: Estudos Avançados, V. 11, Nº 30 Maio-Agosto/1997.

HABERMAS, Jürgen – Facticidad y validez. Madrid: Trotta, 1998.

HERÓDOTO – História. Rio de Janeiro: EDIOURO, s/d.

HODGE, Jonathan K., KLIMA, Richard E. – The Mathematics of Voting and Elections: A Hands-On Approach. Rhode Island/EUA: American Mathematical Society, 2005.

KELSEN, Hans – Teoria Pura do Direito. São Paulo: Martins Fontes, 1987.

MORROW, John – History of Political Thought. London: Macmillan, 1998.

OAKESHOTT, Michael – El racionalismo en la política. México: Fondo de Cultura Económica, 2000.

ORTEGA Y GASSET, José – A rebelião das massas. Rio de Janeiro: Livro Ibero-Americano, 1962.

ORTEGA Y GASSET, José – Obras Completas, v. 1 e 2. Madrid: Alianza, 1987.

PALLAZZI, F., FILIPPI, S. S. – El Libro de los 1000 sábios. Madrid: Editorial Dossat, 1984.

SARTORI, Giovanni – A Teoria da Democracia Revisitada. São Paulo: Ática, 1994.

THOREAU, Henry – Desobedecendo. São Paulo: Círculo do Livro, 1987.

VIVANTI, C. – Maioria/minoria. In: EINAUDI, V.22 Política, Tolerância, Intolerância. Imprensa Nacional/Casa da Moeda, 1996.     

****spout2017

Universidade de São Paulo/Faculdade de Educação 

EDM 5129 Tópicos de ÉTICA E EDUCAÇÃO    2º semestre/2017

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MATEMÁTICA DAS ELEIÇÕES: TEOREMA DE ARROW

Nílson José Machado                                              

 njmachad@usp.br                                                 

www.nilsonjosemachado.net    

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Roteiro/QUESTÕES

I     – Democracia é sinônimo de regra da maioria?

II   – Quem vota?

III – O que significa um voto?

IV  – Contar os votos basta?

IV  – Como Sistemas eleitorais funcionam?

V    –  Teorema de Arrow

      EXCERTOS/ANEXOS/Bibliografia

_____________________________________________

1. Democracia e eleições

Diz-se que “a democracia é o pior dos regimes, excetuando-se todos os outros”. As eleições são a marca da democracia. Os eleitores votam em um candidato, de um elenco X, Y, Z… Na escolha do vencedor, diversos critérios podem ser acordados. Um sistema eleitoral é o elenco de critérios considerados justos para definir o candidato eleito. Um critério que associa o conjunto dos votos individuais a uma escolha coletiva é chamado Função de Bem-Estar Social.

Kenneth Arrow (Nobel de Economia/1972) construiu um conjunto mínimo de exigências consideradas razoáveis para uma tal função. Surpreendentemente, demonstrou, em 1951, um teorema segundo o qual, simplificadamente, não existem funções que satisfaçam simultaneamente os critérios desejáveis, ou seja, não existem sistemas eleitorais perfeitos.

O Teorema da Impossibilidade (Arrow) é tão intrigante quanto o Teorema da Indecidibilidade (Gödel) ou o Princípio da Incerteza (Heisenberg).

Compreendê-lo é fundamental para a compreensão do funcionamento da democracia.

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2 – Eleições e Maioria

É comum associar-se eleições à regra da maioria, mas isso seria natural apenas em embates com apenas dois candidatos, em universo de eleitores em que cada cabeça é um voto.

Se há mais do que dois candidatos, a situação é mais complexa; o mais votado pode ter menos votos que a maioria. Por outro lado, há situações em que os votantes têm diferentes pesos, sem que isso configure um procedimento antidemocrático. O Presidente dos EUA é eleito em um Colégio de Delegados, representantes dos Estados da união. Cada Estado tem um número de delegados correspondente a seu peso político. O candidato mais votado no Estado fica com a totalidade de votos dos delegados do Estado. Assim, os Estados são os verdadeiros eleitores, e eles têm diferentes pesos no processo.

Mesmo em eleições majoritárias regidas pela regra da maioria, os cargos mais importantes na gestão do Estado – os de Ministros, por exemplo – são preenchidos, ou deveriam sê-lo, com base na competência técnica e não pela regra da maioria.

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      3 – Significado do Voto

Na escolha de um entre dois candidatos, o significado do voto como expressão da preferência pessoal é simples e a regra da maioria resolve. Quando há mais que dois candidatos, escolher um e ignorar os outros empobrece o significado da eleição. Para ser justo, seria necessário examinar todos os candidatos e ordená-los segundo nossa preferência. Se concorrem A, B, C e D, por exemplo, um voto seria um quarteto ordenado CBAD: o candidato C é o preferido, seguido do B, do A e do D.

Existem sistemas eleitorais, em uso em diversos países, em que votar significa ordenar os candidatos. Naturalmente, a apuração dos resultados torna-se mais complexa. Diferentes critérios, todos com alto grau de plausibilidade e aparência de justiça, podem conduzir a diferentes ganhadores das eleições. Um dos mais simples é o seguinte: o primeiro lugar no voto ganha 3 pontos, o segundo, 2, o terceiro, 1 e o quarto, 0. Seria algo parecido com a pontuação dos pilotos na Fórmula 1. É insólito, mas não parece injusto.

4 – Democracia e sistemas eleitorais

Um sistema eleitoral é uma regra que associa um conjunto de votos de um universo de eleitores a um candidato vencedor. Se cada cabeça é um voto, e há mais do que dois candidatos, a regra da maioria não dá conta da escolha.

Se cada voto é uma ordenação dos candidatos, existem diferentes sistemas que conduzem do conjunto das ordenações ao resultado da eleição. Um dos mais considerados é o seguinte: verifica-se o candidato menos votado em primeiro lugar, que é eliminado; os votos são, então, reordenados, sem o tal candidato; verifica-se novamente o candidato menos votado em primeiro lugar, que é eliminado; prosseguindo-se assim, chega-se ao confronto direto de apenas dois candidatos, que é decidido pela regra da maioria.

Outro sistema, similar ao anterior, e que parece igualmente justo, é o de eliminações sucessivas do candidato mais votado em último lugar. É desconcertante, no entanto, o fato de que, em situações específicas, os dois sistemas descritos podem conduzir a diferentes eleitos.

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5 – Democracia: Teorema de Arrow

Algumas características parecem desejáveis a todos os sistemas eleitorais: universalidade, independência das alternativas, unanimidade e ausência de ditadores são quatro delas.

Universalidade significa que todas as ordenações possíveis dos candidatos são votos aceitáveis. Independência das alternativas quer dizer que a preferência entre dois candidatos A e B não depende da participação ou não na eleição de outro candidato. A unanimidade quer dizer que, se em todos os votos, A está à frente de B, então no resultado final, A deve estar à frente de B. E a ausência de ditadores é a garantia de que não existe um eleitor (ditador) que, sozinho, com sua ordenação, determine o resultado da eleição.

Em 1951, o economista Kenneth Arrow publicou um texto (Social Choice and Individual Values) que o levaria a ganhar o Prêmio Nobel de Economia. Nele demonstrou o seguinte teorema: não existe sistema eleitoral que apresente simultaneamente as quatro qualidades supracitadas.

É, no mínimo, desconcertante.

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6. Democracia: Arrow e Popper

O avanço da ciência por meio da construção de sistemas formais cada vez mais abrangentes, consistentes e completos, foi um sonho que durou até Gödel, no início dos anos 1930: as limitações intrínsecas aos formalismos são, hoje, amplamente conhecidas. Popper já nos alertara, em seu conhecimento objetivo, que teorias formais nunca podem ser rotuladas como verdadeiras: são sobreviventes ao falseamento a que a realidade continuamente as expõe. Passado o abalo inicial, tais fatos foram assimilados e a ciência continuou a prosperar.

Ao anunciar os limites inerentes aos sistemas eleitorais de diferentes estirpes, Arrow provocou um abalo semelhante, mas que não pode significar uma diminuição na importância da democracia. Descrer da democracia pode ser apenas estimulante provocação. À moda da falseabilidade popperiana, a democracia é melhor de todos os sistemas, pois é o único que permite a correção de erros circunstanciais e inevitáveis nas escolhas de maneira pacífica, por meio das eleições.

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EXCERTOS

1. Democracia e Regra da Maioria: BOBBIO

“A Regra da Maioria não é exclusiva dos sistemas democráticos, nem as decisões em tais sistemas são tomadas exclusivamente mediante tal regra… Esta errônea identificação deriva de uma interpretação equivocada da definição clássica da democracia como governo da maioria… A maioria indica quantos governam e não como governam. … O que caracteriza um sistema político democrático não é o princípio da maioria, mas sim o sufrágio universal. … Desafortunadamente, com muita frequência, as maiorias não se compõem dos mais livres, mas sim dos mais conformistas.”

“Ao falar dos limites de aplicação da regra da maioria, entende-se os limites que derivam da existência de matérias às quais tal regra não se aplica… São matérias em que a tomada de decisões confiada à regra do maior número apareceria como inoportuna, não adequada a seu fim, ou inclusive injusta. … Os valores, os princípios, os postulados éticos e naturalmente também os direitos fundamentais não estão sujeitos a opinião, nem são negociáveis. … Também escapam a seu escopo questões de natureza religiosa, científica, ou que envolvam a irreversibilidade. Podemos submeter a um referendo a escolha entre a monarquia e a república, mas não entre o cristianismo e o ateísmo…”

BOBBIO, Norberto – El filósofo y la política (Antología). México: Fondo de Cultura Económica, 1996

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2. O caso dos EUA

       “Procura-se esconder (na Europa poderia parecer vergonhoso, caso conhecido), que a maioria dos cidadãos com direito a voto nos EUA não exercita tal direito. O mecanismo é simples. O título eleitoral não é entregue a cada um dos cidadãos, como acontece na Europa: os cidadãos é que devem tomar a iniciativa de requerê-lo, agindo como solicitante. E uma grande maioria não o faz…”

Luciano Canfora, em Crítica da Retórica Democrática, p. 28.

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3. O caso dos persas

                  … Têm o hábito (os persas) de deliberar sobre os negócios mais sérios depois de beberem muito; mas, no dia seguinte, o dono da casa onde estiverem reunidos traz novamente à baila a questão, antes de começarem a beber de novo. Se aprovam, ela passa; se não, abandonam o assunto. Às vezes, entretanto, dá-se o contrário: o que decidiram antes de beber passam a discutir novamente durante a embriaguez.

Heródoto (484-425 aC, Livro I Clio CXXXIII)

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4. Sistemas de Votação (FUNÇÕES DE BEM ESTAR SOCIAL)

 MAIORIA    

O vencedor será o candidato que tiver a maioria absoluta (50% + 1) dos votos.

PLURALIDADE

O vencedor será o candidato que tiver a maioria simples dos votos.

PONDERAÇÃO

Se o número de candidatos é igual a k, então, em cada voto, o primeiro lugar em cada ordenação tem k – 1 pontos, o segundo, k – 2 pontos, … o último, zero pontos; o vencedor será o candidato com o maior total de pontos. (Excetuando a diferença na pontuação, é o critério adotado na Fórmula 1.)

CONFRONTO DIRETO

Se um candidato ganhar o confronto direto com todos os outros, então ele será o vencedor.

ELIMINAÇÃO/PREFERÊNCIA

Após a votação/ordenação inicial, elimina-se o candidato com o menor número de 1ºs lugares, e reordenam-se os votos. Após a reordenação, elimina-se o candidato com o menor número de 1ºs lugares; e assim por diante, até o último sobrevivente, que será o vencedor. 

*(Segundo Hodge e Klima, vale na Austrália, na Irlanda e na prefeitura de Londres)  

 ELIMINAÇÃO/REJEIÇÃO

Após a votação/ordenação inicial, elimina-se o candidato com o maior número de última colocação (mais rejeitado), e reordenam-se os votos. Após a reordenação, elimina-se o candidato mais rejeitado, e assim por diante, até o último sobrevivente, que será o vencedor.

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ANEXO

Um Exemplo: Candidatos A, B, C, D; 13 eleitores

       PLURALIDADE                                     MAIORIA

PONDERAÇÃO

REJEIÇÃO

PREFERÊNCIA

Pluralidade:      Maioria:      Ponderação:       Rejeição:      Preferência:

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Bibliografia

BOBBIO, Norberto – El filósofo y la política (Antología). México: Fondo de Cultura Económica, 1996.

BOBBIO, Norberto – El tercero ausente. Madrid: Cátedra, 1989.

BUCHANAN, James M., TULLOCK, Gordon – The Calculus of Consent – Logical Foundations of Constitucional Democracy. Indianapolis: Liberty Fund Inc., 2004.

CANFORA, Luciano – Crítica da Retórica Democrática. São Paulo: Estação Liberdade, 2007.

DAHL, Robert A. – Sobre a Democracia. Brasília: Editora UnB, 2009.

D´ALLONNES, M. R. – Pourquoi nous n’aimons pás La démocracie. Paris: Seuil, 2010.

ELIAS, Norbert – A sociedade dos indivíduos. Rio de Janeiro: Jorge Zahar, 1994.

EPSTEIN, Isaac – O paradoxo de Condorcet e a crise da democracia representativa. São Paulo: Estudos Avançados, V. 11, Nº 30 Maio-Agosto/1997.

HABERMAS, Jürgen – Facticidad y validez. Madrid: Trotta, 1998.

HERÓDOTO – História. Rio de Janeiro: EDIOURO, s/d.

HODGE, Jonathan K., KLIMA, Richard E. – The Mathematics of Voting and Elections: A Hands-On Approach. Rhode Island/EUA: American Mathematical Society, 2005.

KELSEN, Hans – Teoria Pura do Direito. São Paulo: Martins Fontes, 1987.

MORROW, John – History of Political Thought. London: Macmillan, 1998.

OAKESHOTT, Michael – El racionalismo en la política. México: Fondo de Cultura Económica, 2000.

ORTEGA Y GASSET, José – A rebelião das massas. Rio de Janeiro: Livro Ibero-Americano, 1962.

ORTEGA Y GASSET, José – Obras Completas, v. 1 e 2. Madrid: Alianza, 1987.

PALLAZZI, F., FILIPPI, S. S. – El Libro de los 1000 sábios. Madrid: Editorial Dossat, 1984.

SARTORI, Giovanni – A Teoria da Democracia Revisitada. São Paulo: Ática, 1994.

THOREAU, Henry – Desobedecendo. São Paulo: Círculo do Livro, 1987.

VIVANTI, C. – Maioria/minoria. In: EINAUDI, V.22 Política, Tolerância, Intolerância. Imprensa Nacional/Casa da Moeda, 1996.     

****spout2017

Universidade de São Paulo/Faculdade de Educação 

EDM 5129 Tópicos de ÉTICA E EDUCAÇÃO    2º semestre/2017

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MATEMÁTICA DAS ELEIÇÕES: TEOREMA DE ARROW

Nílson José Machado                                              

 njmachad@usp.br                                                 

www.nilsonjosemachado.net    

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Roteiro/QUESTÕES

I     – Democracia é sinônimo de regra da maioria?

II   – Quem vota?

III – O que significa um voto?

IV  – Contar os votos basta?

IV  – Como Sistemas eleitorais funcionam?

V    –  Teorema de Arrow

      EXCERTOS/ANEXOS/Bibliografia

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1. Democracia e eleições

Diz-se que “a democracia é o pior dos regimes, excetuando-se todos os outros”. As eleições são a marca da democracia. Os eleitores votam em um candidato, de um elenco X, Y, Z… Na escolha do vencedor, diversos critérios podem ser acordados. Um sistema eleitoral é o elenco de critérios considerados justos para definir o candidato eleito. Um critério que associa o conjunto dos votos individuais a uma escolha coletiva é chamado Função de Bem-Estar Social.

Kenneth Arrow (Nobel de Economia/1972) construiu um conjunto mínimo de exigências consideradas razoáveis para uma tal função. Surpreendentemente, demonstrou, em 1951, um teorema segundo o qual, simplificadamente, não existem funções que satisfaçam simultaneamente os critérios desejáveis, ou seja, não existem sistemas eleitorais perfeitos.

O Teorema da Impossibilidade (Arrow) é tão intrigante quanto o Teorema da Indecidibilidade (Gödel) ou o Princípio da Incerteza (Heisenberg).

Compreendê-lo é fundamental para a compreensão do funcionamento da democracia.

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2 – Eleições e Maioria

É comum associar-se eleições à regra da maioria, mas isso seria natural apenas em embates com apenas dois candidatos, em universo de eleitores em que cada cabeça é um voto.

Se há mais do que dois candidatos, a situação é mais complexa; o mais votado pode ter menos votos que a maioria. Por outro lado, há situações em que os votantes têm diferentes pesos, sem que isso configure um procedimento antidemocrático. O Presidente dos EUA é eleito em um Colégio de Delegados, representantes dos Estados da união. Cada Estado tem um número de delegados correspondente a seu peso político. O candidato mais votado no Estado fica com a totalidade de votos dos delegados do Estado. Assim, os Estados são os verdadeiros eleitores, e eles têm diferentes pesos no processo.

Mesmo em eleições majoritárias regidas pela regra da maioria, os cargos mais importantes na gestão do Estado – os de Ministros, por exemplo – são preenchidos, ou deveriam sê-lo, com base na competência técnica e não pela regra da maioria.

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      3 – Significado do Voto

Na escolha de um entre dois candidatos, o significado do voto como expressão da preferência pessoal é simples e a regra da maioria resolve. Quando há mais que dois candidatos, escolher um e ignorar os outros empobrece o significado da eleição. Para ser justo, seria necessário examinar todos os candidatos e ordená-los segundo nossa preferência. Se concorrem A, B, C e D, por exemplo, um voto seria um quarteto ordenado CBAD: o candidato C é o preferido, seguido do B, do A e do D.

Existem sistemas eleitorais, em uso em diversos países, em que votar significa ordenar os candidatos. Naturalmente, a apuração dos resultados torna-se mais complexa. Diferentes critérios, todos com alto grau de plausibilidade e aparência de justiça, podem conduzir a diferentes ganhadores das eleições. Um dos mais simples é o seguinte: o primeiro lugar no voto ganha 3 pontos, o segundo, 2, o terceiro, 1 e o quarto, 0. Seria algo parecido com a pontuação dos pilotos na Fórmula 1. É insólito, mas não parece injusto.

4 – Democracia e sistemas eleitorais

Um sistema eleitoral é uma regra que associa um conjunto de votos de um universo de eleitores a um candidato vencedor. Se cada cabeça é um voto, e há mais do que dois candidatos, a regra da maioria não dá conta da escolha.

Se cada voto é uma ordenação dos candidatos, existem diferentes sistemas que conduzem do conjunto das ordenações ao resultado da eleição. Um dos mais considerados é o seguinte: verifica-se o candidato menos votado em primeiro lugar, que é eliminado; os votos são, então, reordenados, sem o tal candidato; verifica-se novamente o candidato menos votado em primeiro lugar, que é eliminado; prosseguindo-se assim, chega-se ao confronto direto de apenas dois candidatos, que é decidido pela regra da maioria.

Outro sistema, similar ao anterior, e que parece igualmente justo, é o de eliminações sucessivas do candidato mais votado em último lugar. É desconcertante, no entanto, o fato de que, em situações específicas, os dois sistemas descritos podem conduzir a diferentes eleitos.

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5 – Democracia: Teorema de Arrow

Algumas características parecem desejáveis a todos os sistemas eleitorais: universalidade, independência das alternativas, unanimidade e ausência de ditadores são quatro delas.

Universalidade significa que todas as ordenações possíveis dos candidatos são votos aceitáveis. Independência das alternativas quer dizer que a preferência entre dois candidatos A e B não depende da participação ou não na eleição de outro candidato. A unanimidade quer dizer que, se em todos os votos, A está à frente de B, então no resultado final, A deve estar à frente de B. E a ausência de ditadores é a garantia de que não existe um eleitor (ditador) que, sozinho, com sua ordenação, determine o resultado da eleição.

Em 1951, o economista Kenneth Arrow publicou um texto (Social Choice and Individual Values) que o levaria a ganhar o Prêmio Nobel de Economia. Nele demonstrou o seguinte teorema: não existe sistema eleitoral que apresente simultaneamente as quatro qualidades supracitadas.

É, no mínimo, desconcertante.

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6. Democracia: Arrow e Popper

O avanço da ciência por meio da construção de sistemas formais cada vez mais abrangentes, consistentes e completos, foi um sonho que durou até Gödel, no início dos anos 1930: as limitações intrínsecas aos formalismos são, hoje, amplamente conhecidas. Popper já nos alertara, em seu conhecimento objetivo, que teorias formais nunca podem ser rotuladas como verdadeiras: são sobreviventes ao falseamento a que a realidade continuamente as expõe. Passado o abalo inicial, tais fatos foram assimilados e a ciência continuou a prosperar.

Ao anunciar os limites inerentes aos sistemas eleitorais de diferentes estirpes, Arrow provocou um abalo semelhante, mas que não pode significar uma diminuição na importância da democracia. Descrer da democracia pode ser apenas estimulante provocação. À moda da falseabilidade popperiana, a democracia é melhor de todos os sistemas, pois é o único que permite a correção de erros circunstanciais e inevitáveis nas escolhas de maneira pacífica, por meio das eleições.

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EXCERTOS

1. Democracia e Regra da Maioria: BOBBIO

“A Regra da Maioria não é exclusiva dos sistemas democráticos, nem as decisões em tais sistemas são tomadas exclusivamente mediante tal regra… Esta errônea identificação deriva de uma interpretação equivocada da definição clássica da democracia como governo da maioria… A maioria indica quantos governam e não como governam. … O que caracteriza um sistema político democrático não é o princípio da maioria, mas sim o sufrágio universal. … Desafortunadamente, com muita frequência, as maiorias não se compõem dos mais livres, mas sim dos mais conformistas.”

“Ao falar dos limites de aplicação da regra da maioria, entende-se os limites que derivam da existência de matérias às quais tal regra não se aplica… São matérias em que a tomada de decisões confiada à regra do maior número apareceria como inoportuna, não adequada a seu fim, ou inclusive injusta. … Os valores, os princípios, os postulados éticos e naturalmente também os direitos fundamentais não estão sujeitos a opinião, nem são negociáveis. … Também escapam a seu escopo questões de natureza religiosa, científica, ou que envolvam a irreversibilidade. Podemos submeter a um referendo a escolha entre a monarquia e a república, mas não entre o cristianismo e o ateísmo…”

BOBBIO, Norberto – El filósofo y la política (Antología). México: Fondo de Cultura Económica, 1996

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2. O caso dos EUA

       “Procura-se esconder (na Europa poderia parecer vergonhoso, caso conhecido), que a maioria dos cidadãos com direito a voto nos EUA não exercita tal direito. O mecanismo é simples. O título eleitoral não é entregue a cada um dos cidadãos, como acontece na Europa: os cidadãos é que devem tomar a iniciativa de requerê-lo, agindo como solicitante. E uma grande maioria não o faz…”

Luciano Canfora, em Crítica da Retórica Democrática, p. 28.

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3. O caso dos persas

                  … Têm o hábito (os persas) de deliberar sobre os negócios mais sérios depois de beberem muito; mas, no dia seguinte, o dono da casa onde estiverem reunidos traz novamente à baila a questão, antes de começarem a beber de novo. Se aprovam, ela passa; se não, abandonam o assunto. Às vezes, entretanto, dá-se o contrário: o que decidiram antes de beber passam a discutir novamente durante a embriaguez.

Heródoto (484-425 aC, Livro I Clio CXXXIII)

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4. Sistemas de Votação (FUNÇÕES DE BEM ESTAR SOCIAL)

 MAIORIA    

O vencedor será o candidato que tiver a maioria absoluta (50% + 1) dos votos.

PLURALIDADE

O vencedor será o candidato que tiver a maioria simples dos votos.

PONDERAÇÃO

Se o número de candidatos é igual a k, então, em cada voto, o primeiro lugar em cada ordenação tem k – 1 pontos, o segundo, k – 2 pontos, … o último, zero pontos; o vencedor será o candidato com o maior total de pontos. (Excetuando a diferença na pontuação, é o critério adotado na Fórmula 1.)

CONFRONTO DIRETO

Se um candidato ganhar o confronto direto com todos os outros, então ele será o vencedor.

ELIMINAÇÃO/PREFERÊNCIA

Após a votação/ordenação inicial, elimina-se o candidato com o menor número de 1ºs lugares, e reordenam-se os votos. Após a reordenação, elimina-se o candidato com o menor número de 1ºs lugares; e assim por diante, até o último sobrevivente, que será o vencedor. 

*(Segundo Hodge e Klima, vale na Austrália, na Irlanda e na prefeitura de Londres)  

 ELIMINAÇÃO/REJEIÇÃO

Após a votação/ordenação inicial, elimina-se o candidato com o maior número de última colocação (mais rejeitado), e reordenam-se os votos. Após a reordenação, elimina-se o candidato mais rejeitado, e assim por diante, até o último sobrevivente, que será o vencedor.

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ANEXO

Um Exemplo: Candidatos A, B, C, D; 13 eleitores

       PLURALIDADE                                     MAIORIA

PONDERAÇÃO

REJEIÇÃO